数理逻辑中的归纳定义和归纳证明

孙明湘　沈旭明

摘要：运用数学归纳法能证明一个表示逻辑定理的全称命题的真实性，即通过证明一集合对象具有某性质，从而证明该集合所有对象具有该性质，其原因在于用归纳法证明的集必须首先是一个用归纳定义给出的归纳集，它是与自然数集相同的最小归纳集，它具有封闭性，即：如果该集合的初始元有某性质，并且有一生成函数使得在初始元基础上，可不断生成新的元，如果这些生成元也有该性质，那么由生成元运用生成函数所生成的其他生成元，也有该性质，于是可断定，该集合中所有元都有该性质。归纳集所具有的这种封闭性质，就是数学归纳法原理。它是一前件真而后件不能假的蕴涵命题，因此归纳证明实际是通过证明它的前件(奠基和归纳两步)真，从而证明后件(归纳命题)必然真的演绎证明。关键词：归纳集；归纳定义；封闭性；归纳证明中图分类号：B813

文献标识码：A

文章编号：1672—3104(2004)01—0016—05