基于高考试题的高中数学圆锥曲线问题解题技巧探析

摘 要：教师在高中阶段帮助学生掌握高中数学圆锥曲线问题解题的技巧非常重要。重点探讨了基于高考试题的高中数学圆锥曲线问题的解题技巧。首先介绍了圆锥曲线问题在数学高考中的重要性以及解题的难点所在，接着分析了圆锥曲线问题的解题思路以及此类题的解题过程中常见的陷阱和误区，最后给出了培养学生圆锥曲线问题解题能力的建议和方法。

关键词：高考試题；高中数学；圆锥曲线；解题技巧

作者简介：陆晓媚（1983—），女，广西壮族自治区百色市德保县德保高中。

圆锥曲线问题是高中数学的重要考点之一，也是让许多学生头疼的难题。在高中阶段，教师帮助学生掌握圆锥曲线问题的解题技巧对于学生的数学学习非常重要。本文通过对高考数学试题的分析和解答，总结了一些圆锥曲线题目解答的基本思路和技巧，同时指出了解答此类题目的过程中容易出现的错误，并提出了相应的方法和建议，旨在让学生熟练掌握圆锥曲线问题的解题技巧，提高学生的解题能力。

一、数学高考中的圆锥曲线考点

在数学高考中，圆锥曲线是重要的考点。以下是一些常见的与圆锥曲线相关的考点：（1）曲线类型判断。学生需要根据给定的方程，判断曲线的类型。（2）方程转化与标准化。学生需要将圆锥曲线的方程转化为标准形式。（3）相关参数计算。学生需要根据方程计算出曲线的参数，如椭圆的长轴、短轴长度等。（4）焦点、顶点和极坐标。学生需要算出椭圆、双曲线和抛物线的焦点、顶点以及相关的极坐标等。（5）垂直、水平方向特性。学生需要判断曲线在x轴和y轴上的方向特性以及双曲线的开口方向等。

二、解答圆锥曲线问题的重要性和挑战性

（一）解答圆锥曲线问题的重要性

圆锥曲线是高中数学课程的重点内容，掌握圆锥曲线的理论知识以及相关问题的解题技巧对于学生来说至关重要，能直接影响学生的数学成绩。同时，圆锥曲线这个数学理论知识点在实际生活中得到了广泛的应用，如物体运动轨迹计算等。在解决这些实际问题时，学生需要将圆锥曲线理论知识与实际情景相结合，并建立适当的数学模型。

（二）解答圆锥曲线问题的挑战性

同一个圆锥曲线问题可能有多种解题方法，因此在解题过程中，学生需要根据题目的特点自由选择合适的解题方法，这对其解题思维和创新能力提出了较高的要求［1］。

三、圆锥曲线问题的基本解题思路

（一）确定曲线类型

我们要先仔细观察给定方程的各项系数和符号，以确定给定方程的曲线类型。如果某一曲线的两个焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数，且该常数大于两焦点之间的距离，则该曲线为椭圆；如果某一曲线上任意一点到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且该常数小于两定点之间的距离，则该曲线为双曲线。此外，我们还可以根据曲线的焦点和开口方向来判断曲线的类型。如果某一曲线的焦点在x轴上并且开口方向为左、右，则该曲线可能是椭圆或双曲线；如果某一曲线的焦点在y轴上并且开口方向为上、下，则该曲线可能是椭圆或抛物线。

（二）转化方程

根据曲线的类型，我们可以通过代换或变换将方程转化为标准形式。标准形式通常更容易被理解和操作。例如：对于曲线是椭圆的方程，我们可以使用平移和缩放的方法获得标准椭圆方程；对于曲线是双曲线的方程，我们可以通过平移和旋转的方法获得标准双曲线方程；等等。

（三）确定基本参数

我们要根据方程的标准形式，确定椭圆的圆心、长轴和短轴长度，确定双曲线的焦点、顶点，确定抛物线的焦点、顶点和开口方向。确定这些基本参数有助于我们理解曲线的几何性质并进行进一步的计算。

（四）解题和应用

我们要根据具体的问题，结合已知条件和曲线的性质进行计算和推导。其中可能涉及解方程组、求交点坐标、求切线和法线方程等。同时，我们要注意题目中的限制条件和要求，遵循解题的基本原则和方法［2］。

四、解答圆锥曲线问题时需要注意的陷阱和误区

（一）曲线判断错误

在确定给定方程的曲线类型时，部分学生很容易出现错误，如将双曲线误认为椭圆或抛物线，将椭圆误认为抛物线等，出现这些误判通常是由于其没有仔细检查方程各项的系数和符号。因此，要想正确地确定曲线类型，学生需要仔细观察方程各项的系数和符号。例如，对于椭圆来说，方程的各项系数必须满足以下条件：x2和y2的系数都是正数。然而，在实际解题过程中，部分学生经常会忽略这些细节，导致曲线判断错误。为了避免出现这些错误，学生需要养成仔细观察和检查的习惯，逐一检查方程各项的系数和符号。

（二）未转化方程形式

在解题过程中，对于题目给出的方程并不是标准形式的情况，学生需要将方程进行转化。然而，有时候部分学生会忽略这一步骤，直接开始解题，导致求解难度增加或得到错误的结果。为了解决这个问题，学生首先需要了解各种圆锥曲线的标准方程形式。椭圆的标准方程形式分为两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是y2/a2+x2/b2=1（a>b>0）。双曲线的标准方程形式也分为两种情况：当焦点在x轴上时，其标准方程为x?/a?-y?/b?=1（a>0，b>0）；当焦点在y轴上时，其标准方程为y?/a?-x?/b?=1（a>0，b>0）。当遇到的方程与标准形式不一致时，学生就需要进行相应的代换或变换，将方程转化为标准形式，这样才能够更轻松地解答题目。例如，对于双曲线方程xy=1，学生可以将方程转化为y=1/x，这样能更好地理解双曲线的性质。由此可知，通过将方程转化为标准形式，学生可以更清晰地理解曲线的性质和特点，进而能更高效地解答题目［3］。

（三）忽略特殊条件

在解题过程中，学生必须注意题目的限制条件和要求。这些限制条件和要求中蕴含着关键信息，能让学生理解曲线的性质和特点，帮助学生更好地解决问题。

（四）计算错误

在解题过程中，计算错误是很容易出现的问题。为了避免出现这一问题，学生需要仔细审查每一步的计算，确保各步骤准确无误。常见的错误原因包括符号错误、代数计算错误和计算过程中的漏项漏步错误等。第一，符号错误。在代数运算中，符号有着至关重要的作用，一个错误的符号会直接导致答案出错。第二，代数计算错误。在进行代数计算时，我们经常需要进行各种运算，但是这些运算往往涉及多项式的展开和简化，很容易出现问题。第三，计算过程中的漏项漏步错误。在计算时，有时候我们可能会忽略一些重要的项或步骤，导致计算结果出错。

（五）不理解问题的要求

在解题过程中，仔细分析题目并理解题目的要求非常重要。有时候解方程或求点坐标只是解答问题的第一步，并不是解题的最终目标，学生还需要进一步分析和解释结果，或者将结果转化为实际问题的答案。例如，有时候学生需要将求得的x值代入实际问题中，计算出具体的数值结果。

五、提高解题能力的建议和方法

（一）理解基本概念和性质

圆锥曲线问题的解答要求学生对相关基本概念和性质有深入的理解，熟悉椭圆、双曲线和抛物线的定义、焦点、顶点等基本知识，并能运用这些知识来解题。例如，已知一个椭圆的长轴长度为10，短轴长度为6，并且焦点在x轴上，求该椭圆的方程和焦点坐标。在解答此题时，根据椭圆的定义以及给定的条件，我们可以得知椭圆的中心也在x轴上，因此可以确定椭圆的方程为（x-h）2/a2+y2/b2=1。然后根据椭圆的长轴长度和短轴长度，可以得到以下两个方程：（1）2a=10，即a=5，代入椭圆方程得到（x-h）2/25+y2/b2=1；（2）2b=6，即b=3，代入椭圆方程得到（x-h）2/25+y2/9=1。由此可知，该椭圆的方程为（x-h）?/25+y?/9=1，焦点坐标为（h±4，0）。这个案例展示了如何利用圆锥曲线的基本性质和题目给出的条件来解题［4］。

（二）多做练习题和模拟试题

让学生做适量的练习题和模拟试题，能加深其对各类圆锥曲线题目的理解，使其掌握相应的解题思路和技巧。教师要逐步提高题目的难度，并引导学生分析和总结解题方法。例如，已知椭圆方程（x-2）2/16+y2/9=1，求椭圆的焦点坐标和离心率。在解此题时，首先，我们根据给定的椭圆方程可以得出椭圆的中心坐标、长轴长度、短轴长度。接着，根据椭圆的性质，我们能得出焦距c，进而得出焦点坐标和离心率。

通过反复做题，学生可以加深对圆锥曲线性质的理解，掌握解题的基本思路和方法。需要注意的是，在解题时学生要注意分析总结解题过程中的关键步驟和策略，以有效提升自身的解题能力和知识运用能力。

（三）分析和解析错题

在解题过程中，学生难免会犯错。对此，教师要引导学生仔细分析错题，找出错误的原因，进行错题反思并改正。通过反思和改正错误，学生可以提高解题的准确性和效率。例如，已知直线L：2x-y=3与椭圆E：9x2+16y2=144相交于点A和点B，求点A、点B的坐标。在解这道题时，有学生先求出了直线L和椭圆E的标准方程，然后将它们联立求交点坐标，但在联立方程时替换了直线L方程中的y，用椭圆E 方程中的y替代，这个错误导致了结果不正确。为了避免类似的错误，在解题过程中，我们应仔细审查每一步的代数操作和运算，特别是在联立方程求解时，要确保正确地代入和消除变量，避免出现错误。此外，当发现答案不对时，我们应重新检查每一步的计算和代数操作，找出错误的地方。

（四）探索不同的解题方法

在解决圆锥曲线问题时，教师要引导学生用不同的解题方法来解答题目。不同的解题方法有不同的优点和缺点，因此，教师需要带领学生对它们进行分析比较，从而找到最适合的解题方法。

第一，可以结合几何性质来解决问题。教师可以引导学生观察和分析圆锥曲线的特点，让学生发现一些几何规律和关系。对于椭圆问题，教师可以引导学生利用焦点与直径之间的关系来解答；对于双曲线问题，教师可以让学生利用渐近线和焦点之间的关系来解答。这种方法的优点是直观易懂，但有时可能推导过程较复杂。

第二，可以用代数知识求解。我们可以将圆锥曲线方程转化为代数的形式，然后利用代数的方法进行计算和推导。这种方法的优点是运算相对简单，适用于复杂的曲线问题。

除了上述两种方法，我们还可以尝试使用计算机来解决问题，借助计算机来计算数值和绘制图形。这种方法的优点是快速高效，能够处理复杂的计算和绘图任务。学生灵活运用不同的方法，可以提高解题的效率，加深对圆锥曲线知识的理解，提升知识运用能力。

（五）培养数学思维

圆锥曲线题目的解答需要学生具备一定的数学思维能力。培养学生良好的数学思维能力，可以让学生的解题过程更加顺利。教师可以引入一些有挑战性的数学问题，或让学生参与一些数学竞赛，以此锻炼学生的数学思维能力。第一，观察能力。通过仔细观察给定的图形或方程，学生可以发现其中的规律。例如，通过观察双曲线的方程，我们可以推断出其渐近线的斜率和方向。第二，推理能力。通过推理，学生可以从已知条件出发，逐步推导出问题的答案。在圆锥曲线问题的解答中，我们经常要运用代数和几何的知识来进行推理。例如，通过已知的条件和性质，我们可以推出曲线的特征。

结语

圆锥曲线问题的解答要求学生掌握相关曲线的性质，能运用几何和代数的知识进行推导和分析。教师帮助学生理解圆锥曲线的基本知识，让学生掌握相应的解题方法和技巧，可以有效提高学生的解题能力和知识运用能力。

［参考文献］

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