让图形在动态和静态之间架设思维桥梁

陈松

【摘 要】数学学习是一个“做数学”的过程，将静态的图形作动态处理，不仅可以帮助学生认识和把握图形的本质属性，明确图形之间的内在联系，而且还能培养学生化静为动的思维方式，发展学生的空间观念。

【关键词】图形与几何 运动变化 概念本质 认知结构

挖掘图形中的动态因素，引导学生用运动、变化的眼光看待问题，可以促进学生对知识的理解，帮助学生形成良好的空间观念。通过教学实践积累的经验，笔者认为可以从动态演示图形的形成过程、动态剖析图形的瞬间变化、动态梳理知识脉络三个方面来实施教学。

一、动态演示图形的形成过程，突显概念的本质属性

以运动变化的观点来看，任何图形都是在原有的图形概念基础上不断地发展变化而来的。设计动态图形的方法有很多，下面重点阐述延长、平移、旋转、分割这四种方法。

1.延长。延长若以运动的眼光来看，即把其中的某一点沿直线移动形成新的图形。例如，在教学人教版四上“直线、射线和线段”时，以学生常见的线段为认知起点，引导学生想象往两个不同方向延长，利用课件完整地演示三种线条的形成，感悟三者关系。

2.平移。平移即平行移动。例如，长方体或正方体的形成，教师在课件中显示长方形或正方形的平移，让学生感受柱体的形成过程，并引导想象：图形的平移轨迹所形成的是什么图形？在引导学生感受面动成体的同时，深刻体会到长方体或正方体的基本特征：所有横截面的形状、面积都相等且互相平行。

3.旋转。旋转就是把一个图形绕某个点转动一定角度。例如，在人教版四上“角的分类”一课中，将两条射线重合，以射线的端点为定点，将其中一条射线进行旋转就形成了角。旋转的角度不断变化，就形成了大小不同的角。通过射线旋转的课件，帮助学生认识锐角、直角、平角和周角。

4.分割。通過图形边、角的分割变化，揭示图形之间相互联系、相互转化，引导学生抓住知识的差异性，体会知识之间的整体联系，使所学知识前后贯通。例如，在进行“四边形的分类”相关内容的学习中，笔者出示这样一道题：在三角形、长方形、正方形、平行四边形这些图形中画一条线段，把它分割成一个或两个梯形。学生通过分割操作，纷纷在各个图形中得到了不同的梯形。接着，笔者提问：“要得到梯形，分割的时候需要怎么做？”引导学生观察并思考。生1：“梯形必须有一组对边互相平行，而三角形中没有，所以要想办法制造出一组相互平行的线。”生2：“因为正方形、长方形和平行四边形都有两组对边平行，所以在这三种图形中画线分割，可以得到两个梯形。”

当然，动态展示图形形成过程的方法还有很多，比如缩放、滚动、翻转、对称等，有待进一步探究与实践。这些动态的呈现方式很少被单独使用，通常是以一种或两种方法为主，其他方法为辅的综合应用。

二、动态剖析图形的变化瞬间，明晰图形的内在规律

在教学中，教师要学会用运动的视角把常态下的各种直观图形看作是运动变化过程中的某个“瞬间”。剖析每个“瞬间”，就能把握图形的共同性质；研究每一个瞬间的“临界点”，就能把握图形的结构，抓住图形的本质。

1.化静为动，感悟图形背后的数学规律。在图形与几何基本概念的教学中，可以把一些静态图形联结在一起，形成一个动态的过程。在比较和动态把握的过程中，让学生更加清楚某一概念的内涵与外延。

例如，在人教版四下“三角形的认识”这节课即将结束时，教师安排了一个创作三角形的活动：以线段BC为底，创作出高为3厘米的三角形。学生在学习单中呈现出多种画法。通过此类开放性的创作，学生将锐角三角形、钝角三角形和直角三角形及相应的画高方法进行了巩固。接着，教师有意识地将这些图形进行了有序整合，并利用课件进行动态的展示（如图1所示）。当顶点A慢慢移动时，学生兴奋地找到了各种类型三角形变化的临界点。在进一步观察后，有的学生发现这些三角形的顶点都在同一条直线上，有的学生表示上面这条直线和底边是平行关系。虽然，学生的数学发现是不完整的，但通过动态展示，无疑帮助学生突破了“钝角三角形的高也会在三角形的外面”这一难点，同时也为后续学习三角形的等积变形做了很好的铺垫。

2.动中窥定，探索图形的属性。在研究图形的属性时，学生常常需要经历观察—猜想—验证的过程。这是一个探索的过程，学生能不能形成合理的猜想是检测这一过程是否行之有效的重要表现。教师可以运用变化的观点，创设一个动态图形，促使学生更易于猜测图形的属性，进而形成合理的猜想。

例如，在教学人教版四下“三角形内角和”时，笔者引导学生观察图2，图中A点沿着垂直于BC的线段运动，可以形成很多不同的三角形。教师提问：“你发现了什么？∠A、∠B、∠C是怎样变化的？它们的和会是多少度？”运用课件进行动态演示A点的运动轨迹，引导学生观察∠A、∠B、∠C的大小变化，大部分学生能够发现：当A点向下运动时，∠A不断变大，∠B和∠C都在不断变小。接着，引导学生想象，当A点不断向下最后接近BC边时，∠A就会接近180°，而∠B和∠C则都接近0°，三个角的和就可能是180°。相反，当A点向上运动时，∠A不断变小，∠B和∠C不断变大，当A点不断向上运动时，最后∠A会趋向于0°，而∠B和∠C都趋向于90°，三个角的和同样也可能是180°。通过这样的动态过程，学生体会到虽然三个角的大小都在变化，有变大的，也有变小的，但三个角的和可能保持不变。

三、动态梳理知识脉络，构建平面图形的知识网络

图形与几何领域中各种图形的属性往往会有密切的联系。在教学中，教师要用知识关联的视角，帮助学生动态梳理各种图形之间的关系，进而形成知识网络。

例如，在教学人教版六下“平面图形的面积”相关内容的复习课时，为了让学生通过面积计算公式探索平面图形之间的联系，笔者先出示两条平行线，然后再画一个梯形ABCD，接着进行动态演示：将顶点B沿平行线中的一条向左平移，相应的顶点D向右平移，移动过程中，上下底的和始终相等，直到点B和点A重合（见图3）。在这一动态演示过程中，学生不难发现：梯形的上底在渐渐变小，而下底在随之变长，但是梯形的面积不变。因此，把梯形面积计算公式运用于三角形的面积的计算，也同样适用。接着，教师提问：“照此，如果把顶点B向右平移，会变成什么图形？按照这样的思路，梯形能变成长方形、正方形甚至圆吗？”然后，通过课件动态演示图形演变过程。学生由此发现所有平面图形的面积公式都能用梯形的面积公式推导得到。

通过这样的动态梳理，引导学生用运动、变化的眼光重新审视所学的平面图形，使他们进一步理解各种图形之间的相互关系，建立起多方面的、本质的联系，形成更为丰富的、系统的平面图形认知结构。

（作者单位：福建省连江县文笔小学）

参考文献

［1］王春香，孙庆然.从“静态观察”到“迁移应用”——刍议“图形与几何”教学中学生空间观念的培养［J］.数学教学通讯，2021（25）：9-10.

［2］阮传忠.动态想象，让图形在头脑中生长［J］.安徽教育科研，2020（01）：6-8.

［3］郑亚云.借助几何直观 架设思维桥梁——以“分数的意义和性质”教学为例［J］.小学教学参考，2019（05）：33-34.