穷根究底,“增解”何来?

福建省泉州市第七中学 (362000) 赖呈杰 林景芳

在解三角形问题中,根据条件建立方程计算线段长度或角度时经常会产生“增解”问题.本文笔者以2023年全国新高考Ⅰ卷17为例,明晰“增解”来源,理清“舍根”方法,并提出避免产生“增解”的几种策略,希望对读者有所帮助.

1 问题起源

(2023年全国新高考Ⅰ卷17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.

分析：第(1)小题考查三角恒等变换求三角函数值,第(2)小题可通过等面积法求AB边上的高.即将问题转化为“三角形中,已知两个内角与一条边,求其他边长”.即求b.

图1

可以发现,以上三种思路均采用余弦定理,思路2却产生了增解.原因在哪里?如何舍去增解?已知“两边一对角”情形下,选择哪个角使用余弦定理最佳?

2 为何有增解

2.1 “增解”的几何解释

图2

2.2 “增解”的代数说明

已知a,c和角C,对角C使用余弦定理,并将其整理为关于b的一元二次方程b2-2abcosC+a2-c2=0(*).判别式Δ=(2acosC)2-4(a2-c2),化简得Δ=4(c2-a2sin2C)=4(c+asinC)(c-asinC),则①若方程(*)有两个不等的正数解,则该三角形有两解;②若方程(*)有一个正数解,则该三角形有一解;③若方程(*)无解或只有负数解,则该三角形无解.

限于篇幅,仅证明①.

3 如何舍去增解

在△ABC中,由正弦定理可知,a>b>c⟺A>B>C,可以通过对角的大小比较得到边的大小关系.对于思路2中产生的增解,有以下常用方法舍去.

4 避免产生增解的策略

策略1 对较大角使用余弦定理

策略2 运用射影定理

策略3 运用正弦定理

解三角问题中,只要甄别好条件,运用余弦定理来辨析三角形解的个数也是可行的.由此,可帮助学生面对此类试题时做好决策,做到胸有成竹,事半功倍!