大概念统领下“圆的标准方程”设计与思考*

徐友华

(江苏省苏州市相城区陆慕高级中学 215131)

1 学情分析

教学对象是四星级高中物化生模式的高二年级学生,基础较好,有较强的分析能力、运算能力和建模能力．学生在初中已学习了圆,熟悉了圆的定义、圆的几何特征、几何性质．而且学生刚经历了直线与方程的学习,学会了运用坐标法借助确定直线的几何要素来建立直线的方程,对直线方程的意义有了一定的认识．

2 课标解读

圆是平面图形中最美的曲线,是解析几何中直线与方程之后学习的又一个重要的数学模型．圆的标准方程是圆与方程这个单元的第一课时,在这一课时,需要明晰圆的方程的意义、从圆的几何特征出发探索建立圆的标准方程、学会从不同条件出发探求圆的标准方程、能借助圆的标准方程考查点与圆的位置关系．通过本课时的学习,学生将经历平面解析几何解决问题的基本过程:根据具体问题情境的特点,建立平面直角坐标系;根据几何问题和图形特点,用代数语言将几何问题转化为代数问题;根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路;运用代数方法得到结论;给出代数结论合理的几何解释,解决几何问题．从中帮助学生掌握运用代数方法解决几何问题的思路、方法,领悟解析几何蕴含的数学思想．学生将经历数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学实践活动,从中积累活动经验,提升数学核心素养．

圆是直线之后学习的内容,圆的学习完成之后,还将学习圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线),从前后知识的联系来看,本课时的学习研究过程可以视为直线与方程学习研究经验的再实践——圆的标准方程的构建及运用可以从直线方程的建构与运用中获得借鉴,也为后续圆锥曲线的学习研究提供参考．

教学目标 (1)根据圆的定义把握圆的几何特征,在坐标系中探求并掌握圆的标准方程;(2)能根据条件选用适当的方法求出圆的标准方程,能根据给定点的坐标与圆的标准方程判断点与圆的位置关系,从中感受形与数的结合,体会运用代数方法研究几何问题的解析几何思想;(3)经历数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等数学实践活动,积累活动经验,从中体会类比思想、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想,感受曲线(圆)与方程之间的辩证统一,欣赏圆的对称美,(圆的标准)方程的简洁美,圆与方程之间的和谐美．

教学重点 从确定圆的要素出发探索建立圆的标准方程．

教学难点 根据条件选用适当的方法求出圆的标准方程．

3 过程实录

3.1 情境创设引入课题

问题1直线与方程的学习中,研究了哪些问题?

生众(断续):斜率、截距、方程、位置关系、距离．

追问:我们是以怎样的顺序展开研究的?

生1:先研究了确定直线的几何要素,然后在确定直线的几何要素的基础上建立了直线的方程,最后研究了直线间的位置关系(两直线交点、点到直线的距离等)．

下面,我们将研究平面图形中最美的图形——圆(毕达哥拉斯语)．(引入课题)

问题2你觉得要研究哪些问题?以怎样的顺序展开研究?

生:要研究确定圆的要素、圆的方程、涉及圆的一些位置关系问题.应该也是先研究确定圆的几何要素,再建立圆的方程,最后考察位置关系这样的顺序展开研究．

设计意图在新授课中,通过创设问题情境引入课题通常有两种选择:一是借助生活中数学对象的原型引入,二是从数学内部自身的问题引入．联系初中及前面一阶段直线的学习可知,学生已经掌握了圆的定义,熟悉了圆这一几何对象,因此本节课舍弃借助生活中的原型引入课题．而且本节课无论是学习内容还是学习方法都与直线方程的学习经历相似,因此通过回忆直线与方程所学内容、学习顺序与方法这一数学内部的问题引入课题,可以借助类比、迁移,将直线与方程的学习内容、顺序与方法的回忆充当本课时的学习先行组织者,激活学生的已有认知与经验,为圆的方程的学习提供内容、顺序以及方法上的借鉴,使得本课时的探究学习成为学生已有认知、经验的再实践,将较为困难的探究学习化为学生的实践性活动,有利于新知的探求与生成,有助于数学核心素养的提升．

3.2 意义构建探求方程

活动1 (围绕下列问题)谈谈你对圆的认识．

问题3-1圆是如何定义的?

生1:(学生口述,教师板书)圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合(集合观点)．

追问:如何称呼这里的定点、定长?

生众:圆心、半径．

师:正如距今约2 500年的墨子所言,“圆:一中同长也”,大家还有其他看法么?

生2:也可以看作平面内到定点(圆心)的距离为定值(半径)的点的轨迹(运动观点)．

问题3-2如何确定一个圆?

生众:圆心及半径．

追问:各有怎样的意义?

生3:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小．

设计意图回顾圆的定义,把握几何特征,明晰确定圆的几何要素,学会用数学的眼光观察几何对象,感悟数学文化．

问题3-3什么是圆的方程?怎样建立圆的方程?

(学生哑然)

师:请同学们回忆一下,什么是直线的方程?怎样建立直线的方程?请翻看课本第59页右下角框图中的文字:“建立直线的方程,就是利用确定直线位置的几何要素,建立直线上任意一点的横坐标x,纵坐标y所满足的关系式．”

师:现在你能说出什么是圆的方程、如何建立圆的方程吗?

生4:圆的方程就是圆上任意一点的横坐标x、纵坐标y所满足的关系式．要建立圆的方程可以利用确定圆的几何要素(圆心、半径),建立圆上任意一点的横坐标x、纵坐标y所满足的关系式．

设计意图通过创设问题,引导学生思考圆的方程的含义,把握数学本质．预设中,对于问题3-3刚开始学生将无从作答,此问题的目的就是引发学生的思考．在联系的观点下,通过对直线方程举例、回顾(阅读),借助类比迁移,让学生自行悟出圆的方程的含义,为接下来的探究活动明确目标．

活动2 探究圆的方程．

师:假设定义中的定点(圆心)为A(a,b),定长(半径)为r,圆上任意一点P(x,y),圆的定义用符号语言如何表示?

生众:PA=r．

师:请大家将符号语言坐标化,探求圆上任意一点P(x,y)的坐标x,y之间满足的关系式．

学生尝试建立圆的方程,投影展示、交流．

生2:(x-a)2+(y-b)2=r2②．

追问生1:①式怎么得到的?

生1:根据PA=r,运用两点间的距离公式得到．

追问生2:②式怎么得到的?

生2:在①的基础上对表达式两边平方以后得到．

师:①和②都可以认为是圆上任意一点P的横坐标x与纵坐标y之间的关系式,你们觉得哪一个表示圆的方程更好?为什么?

生众:②式更好,②式在结构上更简洁,形式上更美．

师:同感!正如爱因斯坦所言:“美,本质上终究是简单.”

设计意图借助符号语言的坐标化来探究圆的方程,其实质是不同数学表征之间的转化,从中体会运用数学的语言(方程)描述数学对象(圆),感受数学表征的多元性,欣赏方程的简洁美．探究活动中适时追问是怎么得到的,意在展示学生的思维过程,引导学生关注不同表征之间的内在联系,也为后续椭圆、双曲线、抛物线等曲线方程的学习提供借鉴．

3.3 问题辨析理解方程

活动3 辨析②式是否确系以A为圆心,r为半径的圆的方程．

问题4-1圆上的点的坐标都满足②式吗?

生:是．

师:如何得知?

生:由方程的推导过程可知．

问题4-2以②式方程的解为坐标的点都在圆上吗?

生:是．

师:如何得知?

生:②式两边开方可得①式,其几何意义为点P′(x,y)到A(a,b)的距离为r,根据圆的定义可知,这样的点P′在圆上．

师:给②式起个名字．

生(陆续):圆的标准方程、圆的径心式方程．

师:为了便于交流,我们统一称之为圆的标准方程．(板书:圆的标准方程)

追问:“标准”体现在什么地方?

生:这个方程最能反映圆的特征(一中同长),最能揭示圆的确定要素(圆心、半径),表达式比较简洁．

设计意图引导学生思考圆与探究所得方程的关系,借助集合观点,聚焦曲线上任意一点的坐标与方程的解之间的关系来认识曲线与方程概念的纯粹性与完备性(教学中不提及纯粹性与完备性名词)．洞悉曲线与方程的两位一体:方程是曲线的抽象表示,曲线是方程的直观呈现．感悟曲线与方程是形与数的对立统一,领悟曲线与方程中所蕴含的数形结合思想．

问题4-3此方程有何特征?

生:二元二次式,含有三个参数．

问题4-4若圆心在原点,则半径为r的圆的方程是怎样的?

生:x2+y2=r2．

追问:若圆心在原点,半径为1,则圆的方程又是怎样的?

生:x2+y2=1．

问题4-5前面方程②一定表示以A(a,b)为圆心、r为半径的圆吗?

生:不一定.若r=0,则图形退化为一点;若r<0,则圆的半径为|r|．

练一练 1．指出下列方程表示的曲线是何图形:(1)(x-1)2+(y-2)2=9;(2)(x-1)2+(y-2)2=9(y≥0)．

2．指出下列圆的圆心与半径:(1)(x-1)2+(y+2)2=5;(2)(x+m)2+(y+n)2=s2(s≠0)．

设计意图通过问题4-3、4-4、4-5以及练一练的问题考查,帮助学生进一步明晰圆的标准方程的内涵与外延,深刻理解圆的标准方程的意义．

3.4 例题剖析掌握方程

例1求圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程,并判断M1(5,1),M2(-2,-1)是否在这个圆上．

学生练习后交流．

生:将点的坐标代入圆的方程,若式子的左、右两边相等,则点在圆上;若式子的左边小于右边,则点在圆内;若式子的左边大于右边,则点在圆外．

师:为什么?

师:还有其他想法吗?

问题5上述两种方法有何关系?

生:第一种通过运算比较数的大小来判断位置关系,第二种通过比较距离与半径的大小来判断位置关系．第一种侧重于从数的角度思考,第二种侧重于从形的角度思考,两者本质上是一致的．

探究活动 考察点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系．

变式练习1 (1)判断点M3(7,-3),M4(2,-8)与圆(x-2)2+(y+3)2=25的位置关系;(2)求以A(2,-3)为圆心,过点M(5,1)的圆的标准方程;(3)求以A(8,0),B(0,6)为直径端点的圆的标准方程;(4)求以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的标准方程(课后探究)．

学生独立完成以后交流．(略)

设计意图研读教材发现,人教A版教材中的例1、例2考查的是同一个圆,将教材中例1的点M1的坐标从(5,-1)改为(5,1)不影响问题的处理,将例2中的B,C两点设置为变式练习1,一方面巩固所学,另一方面为例2的处理埋下伏笔．通过对M2相对于圆的位置的追问,自然地引出探究问题,引导学生审视圆的标准方程的推导过程.问题5引导学生聚焦方程的几何意义,明晰代数法与几何法的一致性,把握数学本质．将教材中的探究问题一般化,结合对圆的标准方程推导过程的审视,未增加难度,更具一般性．另外,在例1的处理中,除审视代数法的几何意义外,淡化几何法,突出代数法,凸显解析几何思想．

例2已知△ABC的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求△ABC的外接圆的标准方程．

学生通过建立三元一次方程组求出圆心坐标 和半径,求得△ABC的外接圆方程(x-2)2+(y+3)2=25．引导学生交流反思,归纳方法(板书:待定系数法)．

追问:有其他方法么?

投影展示用两边中垂线确定圆心,再计算半径后求得△ABC的外接圆方程．引导学生交流反思,归纳方法(板书:几何法)．

变式练习2 (1)△ABC的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求△ABC的外心坐标;(2)已知圆过A(5,1),B(7,-3)两点,且圆心在直线x+y+1=0上,求圆的标准方程．

学生练习后投影展示解答,点评交流(略)．

设计意图师生共研例2,教师板书,适时停顿,追问接下去如何处理,提升学生的数学运算素养;同时,示范解答题的规范书写．在问题的分析处理过程中让学生体会从几何特征处寻找思路,运用代数方法求解的解析法思想．解析几何主要解决两类问题:第一类求曲线的方程;第二类利用方程解决几何问题．教学实施中将与教材例3同类型的问题作为例2的变式出现,将例3留作巩固练习,减少不必要的重复运算,聚焦于思路的探求与问题的求解．在变式练习2的交流互动中选取不同做法进行交流展示,体现数学表征的多元性,揭示不同方法背后机理的一致性,突出解析法思想．

3.5 回顾反思完善认知

问题6本节课学到了哪些知识、方法?从中体会到哪些策略、思想?还有哪些疑惑或问题?

师生共同完成思维导图(图1)．

图1 思维导图

设计意图回顾学习内容、学习过程,归纳其中设计的数学方法、策略、思想,完善学生的认知结构．

3.6 分层作业拓展提升

复习巩固第88页习题2.4第2～3题,综合运用第88页习题2.4第6～7题,拓广探索第89页习题2.4第10题(选做)．

设计意图分层作业,让不同层次的学生都得到适当的发展．

4 教学思考

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《标准2017》)提出,学生要在学习数学和应用数学的过程中发展数学学科核心素养．数学学科核心素养具有阶段性、连续性,是在数学学习过程中逐步形成的,其水平的达成不是一蹴而就的[1]81．以记忆事实与表象性概念为主、缺乏深入理解的碎片化的知识点教学无法将数学的本质表述清楚,不能保障数学核心素养提升的连续性,无法满足素养导向的教学要求,难以保证数学核心素养的落实．为此,《标准2017》指出:重视以学科大概念为核心,使课程内容结构化……促进学科核心素养的落实[1]前言4．发展数学学科核心素养,开展以学科大概念为核心、使课程内容结构化的大概念统领下的教学势在必行．

4.1 开展大概念统领下的教学,促进核心素养的提升

在零散的、碎片化的知识点教学中,关注的往往是本课时的知识点的掌握,较少考虑单元或课程内容的整体,容易导致教学中只见树木不见森林,教学视野狭窄,教学立意不高．而实施大概念统领下教学,首先要提取学科大概念,大概念的提取需要挣脱课时、知识点的束缚,在单元甚至课程的视野下认识课时内容的本质、作用、地位及育人价值,这就促使教师自然地由单纯关注课时目标,转向课时目标、单元目标甚至课程目标兼顾．着眼点不再只是课时中的知识点,还有整个单元甚至整个数学课程,使得教学不只关注知识点的掌握,还要关注单元目标、课程目标的实现,而数学课程的目标正是发展学生的数学学科核心素养．因此,在大概念统领下的教学中,在教学目标的制定时自然地关注单元目标、课程目标,自然地关注数学学科核心素养的达成,思考数学学科核心素养在课时内容中的孕育点、生长点[2]81,注意数学学科核心素养与教学内容的关联．比如本课时学习中,借助坐标系建立圆的方程时运用到了数学抽象;根据不同条件求圆的方程的问题求解中运用到了逻辑推理与数学运算;而整个课时学习过程中经历从几何图形(圆)到圆的方程的建构,以及运用点的坐标及圆的方程考查点、圆关系,并解释其中的几何意义这样一个完整的广义上的建模过程,运用到数学建模．在上述教学环节中,组织学生开展相应的数学实践活动,在数学实践活动过程中获得“四基”、提升“四能”,促进学生数学学科素养的提升．

4.2 开展大概念统领下的教学,改进问题情境的创设

问题是数学的心脏,好的问题情境才能激发学生积极思考与主动交流,才能驱动学生的学习实践活动走向深入．在碎片化的知识点教学中,由于对知识的前后联系以及学生的认知基础关注不够,创设出的问题适切性不强,对教学推动作用不大,问题的动力性不足．大概念统领下的教学,需要站在单元、课程的高度,熟悉知识的来龙去脉、前后联系以及学生的认知基础．故而,情境创设才能瞻前顾后,挑战性问题设计才能紧扣学生的最近发展区,创设出的问题才能激发学生的积极思考与交流．在本课时的学习中,着眼学生的学习历程可以知道:在初中,学生已经学习了圆的概念,了解了圆的几何性质;在高中,学生在学习圆之前已经学习了直线,积累了一定的学习经验．鉴于此,可以确立圆的方程为课时大概念,在此大概念统领下,确定本课时的核心任务是建立圆的标准方程．考虑到学生已知圆的概念,无需重复建构圆的概念,情境创设便没有采用生活中圆的原型来引入新课,而采用回顾直线方程学习中的内容、历程(以及其中隐含的方法与思想),在此基础上,直接指明课时的研究对象——圆,以此作为问题情境,引入新课．这样创设既通过情境问题隐喻了课时的研究目标、方法、路径,又以前位大概念——直线方程的学习经验充当了课时学习的先行组织者．在大概念的联结与迁移下,新知的学习可以参照前位大概念——直线方程的学习,通过创设探究活动,借助类比迁移,学生较为容易地建构圆的标准方程．

4.3 开展大概念统领下的教学,增进知识之间的联结

5 结语

大概念统领下的教学正是要将碎片化的具体的事实、概念、技能与学科中处于中心地位,具有持久性和迁移价值的学科大概念建立关联,使碎片化的知识实现有意义的结构化,进而通过知识的结构化帮助学生获得知识、掌握方法、把握本质、通晓缘由、加深理解、领会要义,促进学生形成良好的数学认知结构．并从中获得“四基”,提升“四能”,积累经验,发展数学学科核心素养．