利用多普勒效应测量小车运动加速度和滑动摩擦系数

张 瑜,陈晓平

1.虎山中学，广东 梅州 514200

2.石门高级中学，广东 佛山 528225

多普勒效应是指当声源与观察者之间存在相对速度时，接收频率与源频率比会发生改变，也称为频移。多普勒效应在日常生活中的应用非常广泛，包括道路测速、医学彩超、天体观察等方面。不少学者对于多普勒效应的应用进行实验研究，包括利用多普勒效应测量声速、重力加速度、滑动摩擦力与相对速度的关系以及验证牛顿第二定律［1－4］等。这些学者在进行实验研究时，都是从接收频率与速度的关系或者接收频率与时间的关系对声速、重力加速度、滑动摩擦力进行测量。随着科技的进步和智能手机的普及，传感器越来越广泛地被应用到物理实验中。

本文经过理论分析提出一种新的实验方法，结合Spaichinger Schallanalysator 软件，从频移随时间的变化出发，测量物体做匀加速直线运动的加速度和滑动摩擦系数。

1 一维声学多普勒效应的简介

多普勒效应中频率发生变化是由于有效波速或波长发生了变化。当波源以速度vs靠近或远离静止的观察者时，由于观察者与介质相对静止，波在介质中传播的速度就是波相对于观察者的速度v［5］，即有效波速不变，而有效波长为λ＇＝λ∓vsT，于是观察者听到的频率为：

2 实验方案设计

2.1 实验仪器介绍

小车，轨道，一部智能手机，蓝牙音箱，iPad，麦克风，摄像机，实验室温度计，数字水平仪。

2.2 实验软件介绍

频率发生器，Spaichinger Schallanalysator，Tracker，Origin，Excel。

2．2．1 频率发生器软件

频率发生器是一款可以发出特定频率声波的软件，其输出的频率范围为1 Hz～22 000 Hz，包括次声波、人耳听觉范围的声波以及超声波。频率发生器可以发出特定频率的声波，经常被应用于声学实验，其中包括频率是音调的主要影响因素演示实验、共振实验、声学多普勒效应实验等。

频率发生器的操作界面如图1 所示，界面简洁，在使用的时候只要输入目标频率再点击“开始”按钮，就可以得到特定频率的声波，简单便捷。

图1 频率发生器使用界面

2．2．2 Spaichinger Schallanalysator 软件

Spaichinger Schallanalysator 是Markus Ziegler为物理声学实验专门设计开发的免费软件，在iOS 系统可以免费下载使用。

用户打开该软件后，点击“star”，可自主选择0.186 s（点击“Messung schnell”）或0.930 s（点击“Messung langsam”）的采样率（图2），软件会根据采样率实时测量声压级、声压和频率。以测量声音的频率为例，在测量的过程中屏幕会实时显示声音的频率（图3），测量结束后，点击“stop”键，进入操作界面，点击“Schallpegelwerte senden”键（图4），可以输出CSV 文件（图5）。

图2 采样率选择使用界面

图3 频率显示界面

图4 输出CSV 文件使用界面

图5 CSV 文件部分数据图

2．2．3 Tracker 软件

Tracker 软件可以对物体运动的片段视频逐帧进行分析，追踪物体的运动轨迹，并输出其在每个时刻的运动信息，图6 为其软件界面。

图6 Tracker 软件使用界面

Tracker 软件有以下两大优势：①设置方式人性化且精确：根据实际尺度设置比例标度；可自由设置原点的位置；可根据需要对坐标系、定标尺以及定标杆的方向进行旋转。②Tracker 软件还提供了强大的数据采集和动态分析功能：可手动或自动跟踪目标的运动轨迹；可定量分析质点在特定时刻的运动位移、运动速度、运动加速度等，输出所需要的数据表格或图像［6］。

2.3 实验原理

当小车在倾斜角为θ 的斜面轨道上做匀加速直线运动时，其受力分析如图7 所示。将重力沿着平行斜面和垂直斜面的方向进行分解：

图7 小车在斜面轨道上的受力分析图

Gx=mgsinθ

Gy=mgcosθ

f=μmgcosθ

小车在斜面上做匀加速直线运动的加速度为：

根据一维声波多普勒效应

令X0=0，展开到一阶：

小车在做匀加速直线运动的过程中，绘制频率的变化量Δf（t）曲线，该曲线的斜率k1与加速度a 的关系

由此可以得到加速度的实验值。绘制（2）式的图像，该图像的斜率k2就是滑动摩擦系数的理论值。

2.4 实验内容

（1）将小车的运动视频导入Tracker 软件，分析小车的位移和速度随时间的变化情况，得到小车运动加速度的实际值。

（2）当倾斜角度不同时，测量当声源分别发出13 000 Hz 声波时靠近静止观察者时频移随时间的变化，绘制Δf-t 图像并进行拟合，通过斜率k1计算加速度，并与实际值进行比较。

（3）绘制（2）式的图像并进行拟合，通过斜率k2计算滑动摩擦系数。

2.5 实验步骤

（1）如图8 和图9 所示，将蓝牙音箱固定在小车上，调节轨道呈合适的倾斜角，使小车在轨道上做匀加速直线运动，利用数字水平仪测量轨道的倾斜角θ。

图8 声源匀加速靠近观察者实验装置示意图

图9 声源匀加速靠近观察者实验装置实物图

（2）在轨道底端放置与蓝牙音箱正对的麦克风，麦克风与运行Spaichinger Schallanalysator 软件的iPad 连接，作为观察者。

（3）调节好摄像机高度，方便摄像机把小车整个运动过程都录下来，打开摄像机，使之呈录制状态。

（4）打开手机上的频率发生器软件，将小车与音箱通过蓝牙连接，让音箱发出13 000 Hz 的声波。

（5）通过实验室温度计记录室内温度。

（6）让小车从轨道顶端由静止开始向轨道底端运动，释放小车的同时打开iPad 的Spaichinger Schallanalysator 软件开始测量声音频率。当小车运动到轨道底端的同时，关闭Spaichinger Schallanalysator 软件，停止测量，关闭摄像机，停止录制。

（7）改变轨道的倾斜角θ。

（8）重复（1）—（6）步骤。

3 实验结果和分析

将视频导入Tracker 软件，得到小车在4 个不同倾斜角上做匀加速直线运动时位移随时间变化的拟合曲线以及加速度实际值：

s1=0.033 6t2-0.061 5t+0.098 7（倾角θ=2.30°）

s2=0.102 7t2+0.053 6t+0.069 2（倾角θ=3.46°）

s3=0.228 5t2+0.005 2t+0.105 1（倾角θ=4.60°）

s4=0.352 0t2+0.026 8t+0.106 8（倾角θ=6.00°）

a1=0.067 2 m/s2（倾角θ=2.30°）

a2=0.205 4 m/s2（倾角θ=3.46°）

a3=0.457 0 m/s2（倾角θ=4.60°）

a4=0.704 0 m/s2（倾角θ=6.00°）

图10 所示为小车在不同倾斜角轨道上运动时频移随时间变化图像和拟合图像。当倾斜角分别为2.30°，3.46°，4.60°，6.00°时，频率随时间拟合图像的斜率依次为：2.615 7，7.916 0，16.993 1，26.286 5。轨道的倾斜角越大，小车运动的加速度越大；速度随时间的变化越大，频移随时间的变化量也越大。这与理论一致。

图10 声源在不同倾斜角的轨道靠近观察者时频移随时间变化图像及拟合图像

实验在温度为21 ℃时进行，声波在空气中的传播速度为

当θ=3.46°时，将频率随时间变化的数据导出，并计算出每个时刻频率的变化量，如表1 所示。将频移随时间变化曲线的斜率代入（4）式，得到小车在4 个轨道倾斜角上做匀加速直线运动的实验值，并与理论值进行比较，如表2 所示。

表1 θ=3.46°时接收频率随时间的变化数据表

表2 加速度实验值与理论值比较分析表

从表中可以得到，利用一维声学多普勒效应可以测量小车运动的加速度，误差不超过±3.4 %，且当倾斜角度越大，小车加速度越大，误差越小。这是因为当小车运动速度越大，频移越大，频率的测量值更准确。

将加速度实验值代入（2）式，得到表3。将以上数据绘制图像并进行拟合，如图11 所示，该直线是k2<0 的一次函数，与（2）式一致。该拟合直线的表达式为

表3 -cotθ 数据表

表3 -cotθ 数据表

倾斜角（θ/°）a gsinθ?cotθ 2.300.1724.90 3.460.3616.59 4.600.5812.43 6.000.699.52

图11 -cotθ 图像及拟合图像

y=-0.034 5x+0.992 4

R2=0.969 2

根据理论，该拟合直线的斜率为小车在轨道上的滑动摩擦系数：μ=0.034 5。

4 误差分析

实验的误差主要来自以下几个方面：

（1）环境的噪音对观测频率产生影响，导致实验值在理论值附近波动。

（2）一维多普勒效应要求波源与观察者的连线以及二者速度矢量在同一直线上［5］，但是实验中声源与观察者有相对运动，音箱的扬声器与麦克风难以绝对做到在同一直线上。

（3）根据理论，实验要求声源做初速度为0的匀加速直线运动。在实际实验时，小车有微小的初速度，带来误差。

5 结束语

本文采用了摄像机对小车在轨道上做匀加速直线运动的实验进行录像，运用了Tracker 软件对录制的视频进行数据处理，在Origin 软件中对测量数据进行分析，利用Spaichinger Schallanalysator 软件导出频率随时间的变化，绘制频移随时间变化的图像，结合图像的斜率信息，测量了小车在轨道上做匀加速直线运动的加速度和滑动摩擦系数。