玩转高考真题
——三角函数图象与性质

2021-02-11 12:09
新世纪智能(数学备考) 2021年12期
关键词:正整数值域真题

苏 玖

真题再现 (2021·全国甲卷理科第16 题)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部

思维延伸:本题考查三角函数的周期性、对称性、最值等性质,以及如何通过三角函数图象判断函数值的大小,从而得出不等式的最小正整数解.

改编1

原题可由图象求解析式,解析式的表达方式不唯一,如2020年新高考山东卷第10 题(多选题),于是可改编为:

(多选题)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图1所示(见真题图),则2cos(ω x+)φ=( )

图1

点拨:此题关键是要读懂图提供的信息,如周期是怎样体现出来的?如何刻画最高点或最低点?对称中心在哪里?然后再求出相关参数的值.

改编2

也可以将三角函数图象与三角形的相关几何量结合,得到:

已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图2所示,点A,C是两个相邻的最高点和最低点,点B为对称中心,O为坐标原点,OA⊥AC,且△AOC的面积为8.(1)求f(x) 的解析式;(2)求不等式(f(x)-f(-6))(f(x)-f(12))>0最小正整数x的值.

图2

点拨:如果从函数的解析式上出发求解不等式,运算量较大,但可以利用函数图象找出不等式的最小正整数解.

改编3

如果结合函数图象变换再求新函数的单调区间,于是有:

已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,点A,C是两

个相邻的最高点和最低点,点B为对称中心,O为坐标原点,OA⊥OC,且△AOC的面积为(1)求f(x)的解析式;(2)将f(x)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,将所得到的函数图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g(x)的单调增区间.

图3

点拨:利用函数图象变换求出g(x)的函数解析式,根据正弦函数的单调增区间求出新函数的增区间.

改编4

可以将弦函数图象与圆结合,再进行图象变换,求新函数的值域或最值,如:

已知函数f(x)=Asinωx(A∈ N*,ω>0)的图象在圆x2+y2=4 内至少有一个最大值点和一个最小值点.(1)求ω的取值范围;(2)当最小正周期T为最大正整数时,将f(x)的图象向左平移个长度单位,再将得到的图象纵坐标伸长为原来的2 倍,得到g(x)的图象,当时,求g(x)的值域.

图4

点拨:根据弦函数的图象至少有一个最高点与最低点在圆内,可得振幅与周期的不等关系式,再根据振幅是正整数,可以确定T的范围,即可求出f(x)的解析式,从而求出g(x)的解析式,这样就得到值域.

改编5

也可以给出函数的奇偶性、单调区间和对称中心来确定解析式,如:

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω≠ 0)是偶函数,其图象关于点对称,且在上单调递增,求φ及ω的值.

改编6

如果已知函数的定义域和值域,又可以改编为:

已知函数f(x)=定义域为值域为[-1,5],求a,b的值.

点拨:先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数式,根据函数的最值,再利用分类讨论思想确定a与b的值.

改编7

若含有参数的三角函数图象对称性特征及经过特殊点都给出,结合三角函数求值问题又可以改编为:

已知函数f(x)=asinωx+bcosω x(ω>0,ab≠0)的图象经过点和相邻两条对称轴之间的距离为

(1)求f(x)的解析式;

点拨:由三角函数图象性质可得相邻两条对称轴间的距离是半个周期,再结合图象过两个点建立方程组,求出解析式.根据已知锐角的组合式的三角函数值,利用拆角变换求出锐角的正弦值.

改编8

将三角函数的单调性与导数结合、图象与函数的零点结合,又可以改编为:

已知函数f(x)=2cos2x+(2a-1)sinx+a-2,(1)若f(x)在区间上单调递增,求a的取值范围;(2)是否存在整数a及正整数n,使f(x)在开区间(0,nπ)上有2 023 个零点?若存在,求出所有a及n的值;否则请说明理由.

点拨:首先利用导数研究函数的单调性,求出a的取值范围;其次利用因式分解,将函数零点转化为两个正弦函数图象与特定直线的交点个数问题,最后利用分类讨论思想和函数周期性求解.

回顾悟道:从一道填空题出发,结合三角函数图象与性质进行改编.

策略一:由诱导公式可知,同一三角函数图象可以有多个解析式,于是改编为多选题,如改编1;

策略二:根据三角函数图象的对称性与周期的关系,从三角形的特征出发(如面积、垂直等)进行改编,如改编题2-4;

策略三:根据函数图象经过定点来确定参数的取值,再变换为新函数,研究新函数的性质(如单调性、值域等),如改编题5-7;

策略四:研究函数式中参数的存在性问题,改编为探索性题目,如改编题8.

参考答案

真题:2

改编题:1.BC 2.(1)f(x)=2sin;(2)x=5.3.(1)f(x)=;(2)(k∈Z).4.(1);(2).5.φ=2kπ-6.a=2,b=-1,或a=-2,b=5.7.(1)f(x)=2sin;(2)sinα=.8.(1);(2)当a=0 时,n=1012;当a=1 时,n=1349.

扫一扫看详解

小试牛刀

高考真题(2021·北京卷理科第14题)若点P(cosθ,sin)θ与点关于y轴对称,写出符合题意的一个θ值:_________.

命题意图:根据高考真题的题型——开放型,引导编拟关于三角问题中开放型试题,培养发散性思维能力.

改编提示:(1)从奇偶性角度改编;(2)从值域确定解析式不唯一视角改编;(3)给出条件写出一个解析式;(4)从参数取值不唯一改编成多选题.

猜你喜欢
正整数值域真题
玩转高考真题
求圆锥曲线最值(值域)常见函数“模型”的解法
关于包含Euler函数φ(n)的一个方程的正整数解
玩转高考真题——比较大小问题
分式函数值域的求法
破解函数值域的十招
方程xy=yx+1的全部正整数解
交变电流高考真题赏析
对一道IMO题的再研究
一题多解探求函数的值域